Grundlagen einfacher RC-Glieder

RC-Glieder

 

1.Grundlagen

RC-Glieder sind in der Elektrotechnik von grundlegender Bedeutung. Sie bestehen aus einem Widerstand und einer Kapazität. Der Widerstand begrenz den Strom mit dem der Kondensator geladen wird, da der Strom sonst beim Anlegen einer Spannung theoretisch unendlich hoch wäre.

Um die am Kondensator anliegende Spannung zu berechnen, stellen wir zunächst folgende Gleichung auf:

Der Strom i lässt sich mit folgender Gleichung beschreiben:

Setzten wir dies in die erste Gleichung ein, ergibt sich die Differentialgleichung:

Nach dem Lösen dieser Differentialgleichung ergibt sich für die Kondensatorspannung folgender Zusammenhang:

Das Produkt aus R und C wird Zeitkonstante genannte und bestimmt den zeitlichen Verlauf der Ströme und Spannungen eines RC-Gliedes.  Eingesetzt erhalten wir daraus die zwei folgenden Gleichungen, die den Verlauf der Spannung sowie des Stromes beschreiben:

.............

Den zeitliche Verlauf der Spannung sowie des Strom zeigen die folgenden Graphen:

........................

 

2.Technische Bedeutung

In der Praxis werden RC-Glieder als Frequenzfilter eingesetzt. Diese Eigenschaft beruht auf dem frequenzabhängigen Widerstand des Kondensators der mit der Gleichung

berechnet werden kann. Daraus erkennt man, dass der Widerstand eines Kondensator bei hohen Frequenzen gegen Null geht. Man unterscheidet nun zwischen einem so genannten Tiefpass, welcher die Signalanteile unterhalb einer bestimmten Frequenz (Grenzfrequenz ) nahezu ungeschwächt passieren lässt, die darüber liegenden jedoch möglichst stark abschwächt, und einem Hochpass, welcher die hochfrequent Anteile passieren lässt. Diese Schaltungen werden allgemein als Vierpole bezeichnet, da sie je zwei Eingangs- und Ausgangsklemmen besitzen.

 

2.1 Tiefpass

Der Tiefpassfilter wird in vielen Schaltungen verwendet. Er dient meist zur Glättung von Spannungen. Ein einfacher Tiefpass besteht aus einer Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators. Der Kondensator liegt parallel zur Ausgangsspannung.

 

Da es sich nur um einen Spannungsteiler handelt, kann das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung durch die einfache Gleichung

beschrieben werden. Es zeigt sich dass bei niedrigen Frequenzen das Verhältnis Ua zu Ue annähernd eins wird, und diese damit ungehindert passieren können. Bei steigender Frequenz hingegen wird Ausgangsspannung Ua nahezu Null. Der Übergang dieser beiden Frequenzbereiche wird Grenzfrequenz genannt und ist mit

definiert. Bei Frequenzen, die exakt der Grenzfrequenz entsprechen, ist die Ausgangsspannung also genau Wurzel 2 mal kleiner der Eingangsspannung. Diese Frequenz lässt sich mit folgender Formel bestimmen:

Der Tiefpass zeigt somit folgenden Frequenzgang:

Beispiel:

An Ue liegt ein Eingangssignal bestehend aus einer sinusförmigen Schwingung, mit einer Frequenz von 100Hz und einer Amplitude von 10V, und einer Zweiten mit einer Frequenz von 2Khz und einer Amplitude von 2V. Wir verwenden einen Tiefpass mit einem Widerstand von 100Ohm und einem Kondensator mit einer Kapaziät von 10µF. Daraus errechnet sich mit der obigen Formel eine Grenzfrequenz von 159Hz. Damit liegt die 100Hz Schwingung unter der Grenzfrequenz, die 2Khz Schwingung deutlich darüber. Betrachtet man Ue (grün) und Ua (rot) zeigt sich folgendes Bild:

Wie man erkennen kann, ist der hochfrequente Anteil im Ausgangssignal kaum noch zu erkennen. Übrig geblieben ist ledeglich die 100Hz Schwingung in leicht abgeschwächter und phasenverschobener Form.

 

2.2 Hochpass

Ein in einfacher Hochpass besteht ebenfalls aus einer Reihenschaltung eines Widerstandes und eines Kondensators. Jedoch liegt hier der Widerstand parallel zur Ausgangsspannung. Hochpassfilter verwendet man in der Schaltungstechnik um Gleichspannungsanteile aus Signalen auszufiltern. Desshalb steckt diese Schaltung in nahezu jedem HiFi-Verstärker, um die Verstärkerstufen von etwaiger Gleichspannung zu entkoppeln, und niedrige Frequenzen ,die ohnehin weder gehört noch von einem Lautsprecher ausgegeben werden können, auszufiltern.

Aufgrund des Vertauschens von R und C ändert sich die Beziehung zwischen Ua und Ue in:

Die Grenzfrequenz hingegen errechnet sich wie beim Tiefpass:

Der Hochpass zeigt somit folgenden Frequenzgang:

Beispiel:

Jetzt wollen wir uns das selbe Signal, welches wir vorhin mit einem Hiefpass gefiltert haben, nach einem Tiefpassfilter ansehen. Wir berechnen die Bauteile wieder mit der selben Formel. Dabei gehen wir von einem vorgegeben Widerstandswert von 1000Ohm aus. In der Praxis stellt dieser beispielsweise den Eingangswiderstand des Verstärkers dar, und ist daher nicht veränderbar. Die Frequenz die wir übertragen wollen beträgt 2Khz. Mit der Formel ergibt sich damit eine Kapazität von etwa 79nF. Da die Amplitude der 100Hz Schwingung relativ groß ist, und die Signale unterhalb der Grenzfrequenz nicht vollständig ausgeblendet sondern nur abgeschwächt werden, hätte diese bei diesem Kondensator noch einen zu großen Einfluss auf das Ausgangssignal. Wir wählen daher eine noch kleinere Kapazität von 33nF, und erreichen dadurch ein stärkere Abschwächung der niederfrequenten Schwingung, zu Lasten einer geringfügigen Abschwächung der 2Khz Schwingung. Ua ist wieder in grün, Ue in rot dargestellt.

Wie zu sehen ist, ist durch die hohe Grenzfrequenz, die niedrige Frequenz, trotz ihrer hohen Amplitude nicht mehr zu erkennen. Allerdings ist auch die 2Khz Schwingung sichtbar abgeschwächt worden. Hier zeigt sich die Problematik dieser einfachen Filter: Der Frequenzgang zeigt einen zu flachen Abfall im Bereich der Grenzfrequenz. Dieser Abfall wird die Steilheit des Filters genannt. Je steiler ein Filter ist, desto kleiner ist der Übergangsbereich, zwischen der Frequenz, bei der das Signal nahezu unbeeinflusst vom Filter bleibt, und der ab welcher es stark abgeschwächt wird. Eine höhere Steilheit kann zum Beispiel durch hintereinander schalten mehrere Hochpässe erreicht werden.

 

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