Grundlagen Schwingkreis

1.Grundlagen

In der Physik wird eine Schwingung als ein periodisches Wechseln einer Energie zwischen zwei Energieformen innerhalb eines energetisch geschlossen Systems definiert. Das einfachste Beispiel stammt aus der Mechanik. Ein Pendel, das aus einer Masse an einem reibungsfrei gelagertem Excenter besteht, erzeugt bei einmaliger Auslenkung im Vakoum eine unendlich andauernde Schwingung. Die anfänglich zugeführte potentielle Energie der Masse wird zunächst in kinetische Energie, und vom Tiefpunkt an wieder in potentielle Energie umgewandelt.

2. Elektrischer Schwingkreis

2.1 Freie Schwingung

Idealer Schwingkreis:

Ein elektrischer Schwingkreis besteht aus einer Spule und einem Kondensators.

Hier muss die Energie folglich der obigen Definition, zwischen dem Kondensator und Spule ausgetauscht werden. Wir setzen voraus, dass der Kondensator zum Ausgangszeitpunkt aufgeladen und der Schalter geöffnet ist. Wird der Schalter nun geschlossen, fließt Strom durch die Schaltung und die Kondensatorspannung (Uc) nimmt ab. Ist der Konensator vollständig entladen, erreicht der Strom seinen maximalen Betrag. Die Spule versucht nun durch Selbstinduktion den Strom konstant zu halten. Dies hat zur Folge, dass weiter versucht wird Ladung aus dem Konensator zu entnehmen, und Dieser dadurch mit umgekehrter Polarität aufgeladen wird. Hierbei wird der Strom mit zunehmender Kondensatorspannung immer geringer und wird schließlich wieder Null. Jetzt liegt wieder der Ausgangszustand, jedoch mit umgekehrt gepolter Kondensatorspannung vor. Der Verlauf der Kondensatorspannung und des Stromes ist in folgendem Diagramm dargestellt:

Die Spannung über dem Kondensator ist grün, der Strom rot dargestellt. Man erkennt dass wenn eine der beiden Linien ihr Maximum erreicht hat, die andere gerade Null ist. Zu diesen Zeitpunkten liegt jeweil die gesamte Energie des Systems in einer Energieform vor. Eine derartige Schwingung wird als freie Schwingung bezeichnet. Die Frequenz wir Eigenfrequenz des Systems genannt, und wird von der Kapazität des Kondensator und der Induktivität der Spule festgelegt und wird mit folgender Formel berechnet:

................

 

Realer Schwingkreis:

Ein derartiger Schwingkreis würde unendlich lange schwingen. In einer reell aufgebauten Schaltung ist dies natürlich nicht der Fall. Hier dämpfen Leitungswiderstände, der Widerstand des Spulendrahtes und der Leckstrom im Kondensator die Schwingung ab. Deshalb hat ein realer Schwingkreis folgendes Schaltbild:

Der Verlauf der Spannung und der Stromes zeigen dann folgenden Verlauf.

Die Spannung ist wieder grün, der Strom rot dargestellt. Die Amplitude verringert sich schon nach kurzer Zeit und es ist nach wenigen Perioden fast keine Schwingung mehr zu erkennen.

Diese Art von Schwingung wird freie Schwingung genannt. In der Elektrotechnik hat diese kaum eine Bedeutung. Hier werden an Schwingkreise Wechselspannungen angelegt, und die daraus entstandene Schwingung wird erzwungene Schwingung genannt.

 

2.2 Erzwungene Schwingung

Bei der erzwungenen Schwingung kann man zwischen zwei Grundschaltungen unterscheiden. Zum einen der Reihenschwingkreis und zum anderen den Parallelschwingkreis. Zunächst soll der Reihenschwingkreis betrachtet werden. Besonders interessant ist hier der Fall, wenn die Frequenz der angelegten Spannung der Eigenfrequenz des Schwingkreises entsprechen.

2.2.1 Reihenschwingkreis

Die Impedanz dieser Schaltung wird durch Addition der einzelnen, teils komplexen Widerstände errechnet:

Hier erkennt man bereits was passiert, wenn der Widerstand des Kondensators und der Wiederstand der Spule gleich groß sind. Der komplexe Anteil verschwindet vollständig, und nur der reelle Widerstand bleibt übrig. Wir setzen also den Widerstand der Spule gleich dem des Kondensators und erhalten:

Diese Gleichung nach der Kreisfrequenz aufgelöst ergibt:

Jetzt ersetzt man noch die Kreisfrequenz durch die Frequenz und erhält:

Mit dieser Formel lässt sich nun die Frequenz des Schwingkreises bestimmen, bei der er zu einem rein reellen Verbraucher wird. Dieser Zustand wird Resonanz, die entsprechende Frequenz Resonanzfrequenz genannt.

Wird an den Schingkreis eine Wechselspannung mit der mit obiger Formel berechneten Frequenz angelegt, wirkt Dieser wie ein rein ohmscher Widerstand. Der Widerstand des Schwingkreises im Resonanzfall ist daher:

Demnach ist der Widerstand des Reihenschwingkreises im Resonanzfall minimal, der Strom daher maximal.

Beispiel:

An eine Spannungsquelle Uo mit einer Amplitude von 10V und einer Frequenz f von 50Hz soll ein Schwingkreis angeschlossen werden. Dieser soll in Resonanz sein betrieben werden. Der Widerstand soll 2 Ohm sein, die Spule eine Induktivität von 10mH besitzen. Den erforderliche Kapazität lässt sich durch umstellen der Formel für die Resonanzfrequenz berechen.

Demnach wird eine Kapazität von etwa 1mF benötigt.

Betrachtet man den Verlauf der Spannungen und Ströme ergibt sich folgendes Verhalten:

Die angelegte Spannung Uo ist blau, die Spannung am Kondensator Uc grün und der Strom I rot. Wie man sofort sieht ist die Spannung am Kondensator höher als die zugeführte Spannung Uo. Wie lässt sich dieses Verhalten erklären?

Da die Schaltung in Resonanz betrieben wird wirkt nur der ohmsche Widerstand. Folglich errechnet sich der Strom:

Damit ist die Spannung am Kondensator:

Es kommt damit zu einer so genannten Spannungsüberhöhung im Resonanzfall. Der Grad dieser Spannungsüberhöhung wird Güte des Schwingkreises genannt und lässt sich mit folgender Formel berechnen:

Der Kehrwert der Güte wird Dämpfung genannt.

Der Effekt der Spannungsüberhöhung wird zum Beispiel in jeder Leuchtstofflampe verwendet. Hier wird beim Einschalten ein Kondensator parallel zu Röhre geschaltete und dadurch ein Spannung von ca. 450V erreicht.

Frequenzgang:

Neben dem Verhalten bei Resonanz ist natürlich auch das Verhalten im restlichen Spektrum von Interesse. Dieses erkennt man am besten anhand der Resonanzkurve.

 

Neben den über dem Kondensator und der Spule anliegenden Spannung ist der Strom I eingezeichnet. Dieser ist wie oben beschrieben bei der Resonanzfrequenz maximal. Neben der Resonanzfrequenz sind noch die obere und untere Grenzfrequenz eingezeichnet. Diese sind die Frequenzen, an denen der Strom um den Faktor Wurzel 2 kleiner als im Resonanzfall ist. Die Differenz der beiden Grenzfrequenzen wird Bandbreite genannt.

Natürlich kann diese nicht nur graphisch ermittelt werden, sondern lässt sich auch aus den Bauteilwerten berechnen:

Reihenschwingkreis als Filter:

Anhand des Frequenzganges lässt sich bereits erkennen, dass es sich bei einem Reihenschwingkreis um einen Bandpass handelt. Das heißt, es werden Frequenzen über und unter der Responanzfrequenz abgeschwächt, Frequenzen nahe der Resonanzfrequenz können fast ungehindert passieren. Wird ein Schwingkreis als Bandpass verwendet, werden diese sogar noch verstärkt. Nehmen wir folgendes, aus mehreren überlagerten Sinusschwingungen bestehendes, Signal als Eingansgröße an:

 

Es soll nun eine Frequenz von 100Hz ausgesiebt werden. Dazu berechnet man die Bauteile des Schwingkreises mit den bekannten Formel und kommt bei Vorgabe einer 1mH Spule auf eine kapazität von 2,5mF. Die Kondensator Spannung wird als Ausgangsgröße verwendet und zeigt folgenden Verlauf:

Die höher bzw. niederfrequenteren Anteile sind fast vollständig verschwunden, und nur der gewünschte 100Hz Anteil ist erhalten. Diese Art Schwingkreis bildet die Grundlage der Nachrichtentechnik, und wird in jedem analogen Rundfunkempfänger verwendet. Wie bei jedem Filter ist die Steilheit ein wichtiges Kriterium. Ein große Steilheit wird hier durch möglichst kleine ohmsche Widerstände erreicht.

 

2.2.1 Parallelschwingkreis

Entgegen dem Reihenschwingkreis sind beim Parallelschwingkreis die Spule, der Kondensator und der Widerstand parallel geschaltet.

 

 

Die Admitanz dieser Schaltung errechnet sich mit folgender Formel:

Auch hier betrachten wir den Fall für den der Imaginäre Anteil entfällt und kommen nach Umformung auf:

Demnach lässt sich die Resonanzfrequenz eines Parallelschwingkreises mit der gleichen Formel berechnen, mit der auch die des Reihenschwingkreises berechnet werden kann. Im Gegensatz zum Reihenschwingkreis, kommt es hier im Resonanzfall jedoch zu einer Überhöhung der Ströme durch den Kondensator und die Spule. Diese können also größer sein als der gesammte in die Schaltung fließende Strom Io. Der zugeführte Strom Io ist im Resonanzfall minimal. Der Gesamtimpedanz des Schwingkreises ist dann ebenfalls nur noch der ohmsche Widerstand:

Die Güte des Parallelschwingkreises ist deshalb auch über die Stromerhöhung definiert:

Auch hier ist natürlich der Kehrwert der Güte die Dämpfung.

Frequenzgang:

Auch hier ist der Verlauf der Ströme über das Spektrum interessant:

Dieser Verlauf zeigt, dass bei den Frequenzen um die Resonanzfrequenz der Strom am kleinsten wird. Daher muss in diesem bereich der Widerstand der Schaltung maximal sein. Ein solches Verhalten wird Sperrkreis genannt. Auch hier ist die Bandbreite mit den gleichen Formel wie beim Reihenschwingkreis zu berechnen.

 

Beispiel:

Eine reale Spule besitzt neben ihrer Induktivität auch noch einen Widerstand, welcher durch den Widerstand der Wicklung ensteht, und eine Kapazität, die durch den Ladungsunterschied der einzelnen Windungen entsteht. Das Ersatzschaltbild einer realen Spule entspricht daher dem eines Parallelschwingkreises:

 

Also muss eine Spule ein Frequenz besitzten, an der sie nur noch der ohmscher Widerstand wirkt, und sich Induktivität und Kapazität aufheben. Die reale Spule soll folgende Werte besitzen: L = 1mH, R = 0,1 Ohm, C = 1pF.

Mit der bekannten Formel kommt man auf einen Wert von 5MHz. Das heißt: Bei einer Frequenz von 5Mhz wirkt die Spule nicht mehr als Induktivität sondern als rein ohmscher Widerstand. Diese frequenz wird die Eigenfrequenz einer Spule genannt und speziell in der HF Technik berücksichtigt werden, die Spule bei Frequenzen über der Eigenfrequenz ein kapazitives Verhalten zeigt.

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